Vyřešit sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=2$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{5x-1} na 2 získáte 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{3x-2} na 2 získáte 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Sloučením 5x a 3x získáte 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Odečtěte 2 od -1 a dostanete -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x-1} na 2 získáte x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Odečtěte hodnotu 8x-3 od obou stran rovnice.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 8x-3, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Sloučením x a -8x získáte -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Sečtením -1 a 3 získáte 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Roznásobte \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Výpočtem -2 na 2 získáte 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{5x-1} na 2 získáte 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{3x-2} na 2 získáte 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 20x-4 každým členem výrazu 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Sloučením -40x a -12x získáte -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-7x+2\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Odečtěte 49x^{2} od obou stran.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Sloučením 60x^{2} a -49x^{2} získáte 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Přidat 28x na obě strany.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Sloučením -52x a 28x získáte -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Odečtěte 4 od obou stran.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Odečtěte 4 od 8 a dostanete 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 11x^{2}+ax+bx+4. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 44 produktu.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Řešením je dvojice se součtem -24.

$$a=-22 b=-2$$

Zapište 11x^{2}-24x+4 jako: \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Koeficient 11x v prvním a -2 ve druhé skupině.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Vytkněte společný člen x-2 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-2=0 a 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Dosaďte \frac{2}{11} za x v rovnici \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Výraz \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} není definován, protože radicand nemůže být záporný.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Dosaďte 2 za x v rovnici \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=2 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Rovnice \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} má jedinečné řešení.

$$x=2$$