Vyřešit sqrt{5x^2-6x-4}=2(x-1)

$$\sqrt { 5 x ^ { 2 } - 6 x - 4 } = 2 ( x - 1 )$$

Vyřešte pro: x

$$x=2$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{5x^{2}-6x-4}\right)^{2}=\left(2\left(x-1\right)\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{5x^{2}-6x-4} na 2 získáte 5x^{2}-6x-4.

$$5x^{2}-6x-4=\left(2\left(x-1\right)\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem x-1.

$$5x^{2}-6x-4=\left(2x-2\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$5x^{2}-6x-4=4x^{2}-8x+4$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$5x^{2}-6x-4-4x^{2}=-8x+4$$

Sloučením 5x^{2} a -4x^{2} získáte x^{2}.

$$x^{2}-6x-4=-8x+4$$

Přidat 8x na obě strany.

$$x^{2}-6x-4+8x=4$$

Sloučením -6x a 8x získáte 2x.

$$x^{2}+2x-4=4$$

Odečtěte 4 od obou stran.

$$x^{2}+2x-4-4=0$$

Odečtěte 4 od -4 a dostanete -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, součinitel x^{2}+2x-8 použijte vzorec x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=2 ab=-8$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -8 produktu.

$$-1,8 -2,4$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Řešením je dvojice se součtem 2.

$$a=-2 b=4$$

Přepište rozložený výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomocí získaných hodnot.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-2=0 a x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Dosaďte 2 za x v rovnici \sqrt{5x^{2}-6x-4}=2\left(x-1\right).

$$\sqrt{5\times 2^{2}-6\times 2-4}=2\left(2-1\right)$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=2 splňuje požadavky rovnice.

$$2=2$$

Dosaďte -4 za x v rovnici \sqrt{5x^{2}-6x-4}=2\left(x-1\right).

$$\sqrt{5\left(-4\right)^{2}-6\left(-4\right)-4}=2\left(-4-1\right)$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-4 nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$10=-10$$

Rovnice \sqrt{5x^{2}-6x-4}=2\left(x-1\right) má jedinečné řešení.

$$x=2$$