Vyřešit sqrt{3x^2}-xsqrt{12}+2xsqrt{75}=sqrt{3}

$$\sqrt { 3 x ^ { 2 } } - x \sqrt { 12 } + 2 x \sqrt { 75 } = \sqrt { 3 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{1}{9}\approx 0,111111111$$

Postup řešení

Rozložte 12=2^{2}\times 3 na součin. Odpište druhou odmocninu produktu \sqrt{2^{2}\times 3} jako součin čtvercových kořenových složek \sqrt{2^{2}}\sqrt{3}. Vypočítejte druhou odmocninu čísla 2^{2}.

$$\sqrt{3x^{2}}-x\times 2\sqrt{3}+2x\sqrt{75}=\sqrt{3}$$

Rozložte 75=5^{2}\times 3 na součin. Odpište druhou odmocninu produktu \sqrt{5^{2}\times 3} jako součin čtvercových kořenových složek \sqrt{5^{2}}\sqrt{3}. Vypočítejte druhou odmocninu čísla 5^{2}.

$$\sqrt{3x^{2}}-x\times 2\sqrt{3}+2x\times 5\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Vynásobením 2 a 5 získáte 10.

$$\sqrt{3x^{2}}-x\times 2\sqrt{3}+10x\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Vynásobením -1 a 2 získáte -2.

$$\sqrt{3x^{2}}-2x\sqrt{3}+10x\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Sloučením -2x\sqrt{3} a 10x\sqrt{3} získáte 8x\sqrt{3}.

$$\sqrt{3x^{2}}+8x\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Odečtěte hodnotu 8x\sqrt{3} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{3x^{2}}=\sqrt{3}-8x\sqrt{3}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{3x^{2}}\right)^{2}=\left(-8x\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{3x^{2}} na 2 získáte 3x^{2}.

$$3x^{2}=\left(-8x\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-8x\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$3x^{2}=64x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-16x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Vynásobením \sqrt{3} a \sqrt{3} získáte 3.

$$3x^{2}=64x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-16x\times 3+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$3x^{2}=64x^{2}\times 3-16x\times 3+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Vynásobením 64 a 3 získáte 192.

$$3x^{2}=192x^{2}-16x\times 3+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Vynásobením -16 a 3 získáte -48.

$$3x^{2}=192x^{2}-48x+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$3x^{2}=192x^{2}-48x+3$$

Odečtěte 192x^{2} od obou stran.

$$3x^{2}-192x^{2}=-48x+3$$

Sloučením 3x^{2} a -192x^{2} získáte -189x^{2}.

$$-189x^{2}=-48x+3$$

Přidat 48x na obě strany.

$$-189x^{2}+48x=3$$

Odečtěte 3 od obou stran.

$$-189x^{2}+48x-3=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$-63x^{2}+16x-1=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -63x^{2}+ax+bx-1. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=16 ab=-63\left(-1\right)=63$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 63 produktu.

$$1,63 3,21 7,9$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

Řešením je dvojice se součtem 16.

$$a=9 b=7$$

Zapište -63x^{2}+16x-1 jako: \left(-63x^{2}+9x\right)+\left(7x-1\right).

$$\left(-63x^{2}+9x\right)+\left(7x-1\right)$$

Vytkněte -9x z výrazu -63x^{2}+9x.

$$-9x\left(7x-1\right)+7x-1$$

Vytkněte společný člen 7x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(7x-1\right)\left(-9x+1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 7x-1=0 a -9x+1=0.

$$x=\frac{1}{7} x=\frac{1}{9}$$

Dosaďte \frac{1}{7} za x v rovnici \sqrt{3x^{2}}-x\sqrt{12}+2x\sqrt{75}=\sqrt{3}.

$$\sqrt{3\times \left(\frac{1}{7}\right)^{2}}-\frac{1}{7}\sqrt{12}+2\times \frac{1}{7}\sqrt{75}=\sqrt{3}$$

Proveďte zjednodušení. x=\frac{1}{7} hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$\frac{9}{7}\times 3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte \frac{1}{9} za x v rovnici \sqrt{3x^{2}}-x\sqrt{12}+2x\sqrt{75}=\sqrt{3}.

$$\sqrt{3\times \left(\frac{1}{9}\right)^{2}}-\frac{1}{9}\sqrt{12}+2\times \frac{1}{9}\sqrt{75}=\sqrt{3}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{1}{9} splňuje požadavky rovnice.

$$3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}$$

Rovnice \sqrt{3x^{2}}=-8\sqrt{3}x+\sqrt{3} má jedinečné řešení.

$$x=\frac{1}{9}$$