Vyřešit sqrt{3x^2+12x+13}=2x+5

$$\sqrt { 3 x ^ { 2 } + 12 x + 13 } = 2 x + 5$$

Vyřešte pro: x

$$x=-2$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{3x^{2}+12x+13}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{3x^{2}+12x+13} na 2 získáte 3x^{2}+12x+13.

$$3x^{2}+12x+13=\left(2x+5\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2x+5\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$3x^{2}+12x+13=4x^{2}+20x+25$$

Odečtěte 4x^{2} od obou stran.

$$3x^{2}+12x+13-4x^{2}=20x+25$$

Sloučením 3x^{2} a -4x^{2} získáte -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+13=20x+25$$

Odečtěte 20x od obou stran.

$$-x^{2}+12x+13-20x=25$$

Sloučením 12x a -20x získáte -8x.

$$-x^{2}-8x+13=25$$

Odečtěte 25 od obou stran.

$$-x^{2}-8x+13-25=0$$

Odečtěte 25 od 13 a dostanete -12.

$$-x^{2}-8x-12=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -x^{2}+ax+bx-12. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-8 ab=-\left(-12\right)=12$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 12 produktu.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Řešením je dvojice se součtem -8.

$$a=-2 b=-6$$

Zapište -x^{2}-8x-12 jako: \left(-x^{2}-2x\right)+\left(-6x-12\right).

$$\left(-x^{2}-2x\right)+\left(-6x-12\right)$$

Koeficient x v prvním a 6 ve druhé skupině.

$$x\left(-x-2\right)+6\left(-x-2\right)$$

Vytkněte společný člen -x-2 s využitím distributivnosti.

$$\left(-x-2\right)\left(x+6\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte -x-2=0 a x+6=0.

$$x=-2 x=-6$$

Dosaďte -2 za x v rovnici \sqrt{3x^{2}+12x+13}=2x+5.

$$\sqrt{3\left(-2\right)^{2}+12\left(-2\right)+13}=2\left(-2\right)+5$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-2 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Dosaďte -6 za x v rovnici \sqrt{3x^{2}+12x+13}=2x+5.

$$\sqrt{3\left(-6\right)^{2}+12\left(-6\right)+13}=2\left(-6\right)+5$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-6 nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$7=-7$$

Rovnice \sqrt{3x^{2}+12x+13}=2x+5 má jedinečné řešení.

$$x=-2$$