Vyřešit sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu -\sqrt{15+x^{2}} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{25-x^{2}} na 2 získáte 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{15+x^{2}} na 2 získáte 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Sečtením 16 a 15 získáte 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Odečtěte hodnotu 31+x^{2} od obou stran rovnice.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 31+x^{2}, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Odečtěte 31 od 25 a dostanete -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Sloučením -x^{2} a -x^{2} získáte -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-6-2x^{2}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Pokud chcete mocninu dále umocnit, vynásobte mocnitele. Vynásobením 2 a 2 získáte 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem 8 na 2 získáte 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{15+x^{2}} na 2 získáte 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 64 číslem 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Odečtěte 960 od obou stran.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Odečtěte 960 od 36 a dostanete -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Odečtěte 64x^{2} od obou stran.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Sloučením 24x^{2} a -64x^{2} získáte -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Nahraďtet za x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 4, b hodnotou -40 a c hodnotou -924.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{40±128}{8} rovnice.

$$t=21 t=-11$$

Od x=t^{2} jsou řešení získána vyhodnocením x=±\sqrt{t} pro každou t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Dosaďte -\sqrt{21} za x v rovnici \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-\sqrt{21} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$-4=4$$

Dosaďte \sqrt{21} za x v rovnici \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\sqrt{21} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$-4=4$$

Dosaďte -\sqrt{11}i za x v rovnici \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-\sqrt{11}i splňuje požadavky rovnice.

$$4=4$$

Dosaďte \sqrt{11}i za x v rovnici \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\sqrt{11}i splňuje požadavky rovnice.

$$4=4$$

Seznam všech řešení rovnice \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$