Vyřešit sqrt{2x-1}-2=sqrt{x-4}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - 2 = \sqrt { x - 4 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=13$$

$$x=5$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(\sqrt{2x-1}-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x-1} na 2 získáte 2x-1.

$$2x-1-4\sqrt{2x-1}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Sečtením -1 a 4 získáte 3.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x-4} na 2 získáte x-4.

$$2x+3-4\sqrt{2x-1}=x-4$$

Odečtěte hodnotu 2x+3 od obou stran rovnice.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-\left(2x+3\right)$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 2x+3, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$-4\sqrt{2x-1}=x-4-2x-3$$

Sloučením x a -2x získáte -x.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-4-3$$

Odečtěte 3 od -4 a dostanete -7.

$$-4\sqrt{2x-1}=-x-7$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Roznásobte \left(-4\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Výpočtem -4 na 2 získáte 16.

$$16\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}=\left(-x-7\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x-1} na 2 získáte 2x-1.

$$16\left(2x-1\right)=\left(-x-7\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 16 číslem 2x-1.

$$32x-16=\left(-x-7\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-x-7\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$32x-16=x^{2}+14x+49$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$32x-16-x^{2}=14x+49$$

Odečtěte 14x od obou stran.

$$32x-16-x^{2}-14x=49$$

Sloučením 32x a -14x získáte 18x.

$$18x-16-x^{2}=49$$

Odečtěte 49 od obou stran.

$$18x-16-x^{2}-49=0$$

Odečtěte 49 od -16 a dostanete -65.

$$18x-65-x^{2}=0$$

Změňte uspořádání polynomu do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$-x^{2}+18x-65=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -x^{2}+ax+bx-65. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=18 ab=-\left(-65\right)=65$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 65 produktu.

$$1,65 5,13$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+65=66 5+13=18$$

Řešením je dvojice se součtem 18.

$$a=13 b=5$$

Zapište -x^{2}+18x-65 jako: \left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(5x-65\right)$$

Koeficient -x v prvním a 5 ve druhé skupině.

$$-x\left(x-13\right)+5\left(x-13\right)$$

Vytkněte společný člen x-13 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-13\right)\left(-x+5\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-13=0 a -x+5=0.

$$x=13 x=5$$

Dosaďte 13 za x v rovnici \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 13-1}-2=\sqrt{13-4}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=13 splňuje požadavky rovnice.

$$3=3$$

Dosaďte 5 za x v rovnici \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-2=\sqrt{5-4}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=5 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Seznam všech řešení rovnice \sqrt{2x-1}-2=\sqrt{x-4}.

$$x=13 x=5$$