Vyřešit sqrt{2x+1}-sqrt{x+2}=2sqrt{3}

$$\sqrt { 2 x + 1 } - \sqrt { x + 2 } = 2 \sqrt { 3 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=73$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu -\sqrt{x+2} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{2x+1}=2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}=\left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x+1} na 2 získáte 2x+1.

$$2x+1=\left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$2x+1=4\left(\sqrt{3}\right)^{2}+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$2x+1=4\times 3+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Vynásobením 4 a 3 získáte 12.

$$2x+1=12+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+2} na 2 získáte x+2.

$$2x+1=12+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+x+2$$

Sečtením 12 a 2 získáte 14.

$$2x+1=14+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+x$$

Odečtěte hodnotu 14+x od obou stran rovnice.

$$2x+1-\left(14+x\right)=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 14+x, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$2x+1-14-x=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Odečtěte 14 od 1 a dostanete -13.

$$2x-13-x=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Sloučením 2x a -x získáte x.

$$x-13=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(x-13\right)^{2}=\left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x-13\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-26x+169=\left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$x^{2}-26x+169=4^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Výpočtem 4 na 2 získáte 16.

$$x^{2}-26x+169=16\left(\sqrt{3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$x^{2}-26x+169=16\times 3\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Vynásobením 16 a 3 získáte 48.

$$x^{2}-26x+169=48\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x+2} na 2 získáte x+2.

$$x^{2}-26x+169=48\left(x+2\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 48 číslem x+2.

$$x^{2}-26x+169=48x+96$$

Odečtěte 48x od obou stran.

$$x^{2}-26x+169-48x=96$$

Sloučením -26x a -48x získáte -74x.

$$x^{2}-74x+169=96$$

Odečtěte 96 od obou stran.

$$x^{2}-74x+169-96=0$$

Odečtěte 96 od 169 a dostanete 73.

$$x^{2}-74x+73=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, součinitel x^{2}-74x+73 použijte vzorec x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-74 ab=73$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Jediná taková dvojice představuje systémové řešení.

$$a=-73 b=-1$$

Přepište rozložený výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomocí získaných hodnot.

$$\left(x-73\right)\left(x-1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-73=0 a x-1=0.

$$x=73 x=1$$

Dosaďte 73 za x v rovnici \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3}.

$$\sqrt{2\times 73+1}-\sqrt{73+2}=2\sqrt{3}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=73 splňuje požadavky rovnice.

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte 1 za x v rovnici \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3}.

$$\sqrt{2\times 1+1}-\sqrt{1+2}=2\sqrt{3}$$

Proveďte zjednodušení. x=1 hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$0=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte 73 za x v rovnici \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3}.

$$\sqrt{2\times 73+1}-\sqrt{73+2}=2\sqrt{3}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=73 splňuje požadavky rovnice.

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Rovnice \sqrt{2x+1}=\sqrt{x+2}+2\sqrt{3} má jedinečné řešení.

$$x=73$$