Vyřešit sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2-x} na 2 získáte 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Přidat 2x na obě strany.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Sloučením -x a 2x získáte x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Odečtěte 1 od obou stran.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Odečtěte 1 od 2 a dostanete 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -1 za a, 1 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocněte číslo 1 na druhou.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Přidejte uživatele 1 do skupiny 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, když ± je plus. Přidejte uživatele -1 do skupiny \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Vydělte číslo -1+\sqrt{5} číslem -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, když ± je minus. Odečtěte číslo \sqrt{5} od čísla -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Vydělte číslo -1-\sqrt{5} číslem -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Dosaďte \frac{1-\sqrt{5}}{2} za x v rovnici \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Dosaďte \frac{\sqrt{5}+1}{2} za x v rovnici \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} splňuje požadavky rovnice.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

Rovnice \sqrt{2-x}=x-1 má jedinečné řešení.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$