Vyřešit sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Vyřešte pro: x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu -\sqrt{19-x^{2}} od obou stran rovnice.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{15+x^{2}} na 2 získáte 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{19-x^{2}} na 2 získáte 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Sečtením 4 a 19 získáte 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Odečtěte hodnotu 23-x^{2} od obou stran rovnice.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 23-x^{2}, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Odečtěte 23 od 15 a dostanete -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Sloučením x^{2} a x^{2} získáte 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(-8+2x^{2}\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Pokud chcete mocninu dále umocnit, vynásobte mocnitele. Vynásobením 2 a 2 získáte 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem 4 na 2 získáte 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{19-x^{2}} na 2 získáte 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 16 číslem 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Odečtěte 304 od obou stran.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Odečtěte 304 od 64 a dostanete -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Přidat 16x^{2} na obě strany.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Sloučením -32x^{2} a 16x^{2} získáte -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Nahraďtet za x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 4, b hodnotou -16 a c hodnotou -240.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{16±64}{8} rovnice.

$$t=10 t=-6$$

Od x=t^{2} se řešení získávají vyhodnocením x=±\sqrt{t} pro pozitivní t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Dosaďte \sqrt{10} za x v rovnici \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\sqrt{10} splňuje požadavky rovnice.

$$2=2$$

Dosaďte -\sqrt{10} za x v rovnici \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-\sqrt{10} splňuje požadavky rovnice.

$$2=2$$

Seznam všech řešení rovnice \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$