Vyřešit sqrt{1-2x/3}=x+5

$$\sqrt { 1 - \frac { 2 x } { 3 } } = x + 5$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{2\left(\sqrt{10}-8\right)}{3}\approx -3,225148227$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{1-\frac{2x}{3}}\right)^{2}=\left(x+5\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{1-\frac{2x}{3}} na 2 získáte 1-\frac{2x}{3}.

$$1-\frac{2x}{3}=\left(x+5\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x+5\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$1-\frac{2x}{3}=x^{2}+10x+25$$

Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 3.

$$3-2x=3x^{2}+30x+75$$

Odečtěte 3x^{2} od obou stran.

$$3-2x-3x^{2}=30x+75$$

Odečtěte 30x od obou stran.

$$3-2x-3x^{2}-30x=75$$

Sloučením -2x a -30x získáte -32x.

$$3-32x-3x^{2}=75$$

Odečtěte 75 od obou stran.

$$3-32x-3x^{2}-75=0$$

Odečtěte 75 od 3 a dostanete -72.

$$-72-32x-3x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-3x^{2}-32x-72=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -3 za a, -32 za b a -72 za c.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-72\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Umocněte číslo -32 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\left(-3\right)\left(-72\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+12\left(-72\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslem -72.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-864}}{2\left(-3\right)}$$

Přidejte uživatele 1024 do skupiny -864.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{160}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 160.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Opakem -32 je 32.

$$x=\frac{32±4\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -3.

$$x=\frac{32±4\sqrt{10}}{-6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{32±4\sqrt{10}}{-6}, když ± je plus. Přidejte uživatele 32 do skupiny 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}+32}{-6}$$

Vydělte číslo 32+4\sqrt{10} číslem -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-16}{3}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{32±4\sqrt{10}}{-6}, když ± je minus. Odečtěte číslo 4\sqrt{10} od čísla 32.

$$x=\frac{32-4\sqrt{10}}{-6}$$

Vydělte číslo 32-4\sqrt{10} číslem -6.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-16}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-16}{3} x=\frac{2\sqrt{10}-16}{3}$$

Dosaďte \frac{-2\sqrt{10}-16}{3} za x v rovnici \sqrt{1-\frac{2x}{3}}=x+5.

$$\sqrt{1-\frac{2\times \frac{-2\sqrt{10}-16}{3}}{3}}=\frac{-2\sqrt{10}-16}{3}+5$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{-2\sqrt{10}-16}{3} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$\frac{2}{3}\times 10^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\times 10^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}$$

Dosaďte \frac{2\sqrt{10}-16}{3} za x v rovnici \sqrt{1-\frac{2x}{3}}=x+5.

$$\sqrt{1-\frac{2\times \frac{2\sqrt{10}-16}{3}}{3}}=\frac{2\sqrt{10}-16}{3}+5$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{2\sqrt{10}-16}{3} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{2}{3}\times 10^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\times 10^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}$$

Rovnice \sqrt{-\frac{2x}{3}+1}=x+5 má jedinečné řešení.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-16}{3}$$