Vyřešit sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(y-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sečtením 4 a 4 získáte 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} na 2 získáte x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Opakem -2 je 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x+2\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(y-4\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Sečtením 4 a 16 získáte 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} na 2 získáte x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Sloučením x^{2} a -x^{2} získáte 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Odečtěte 4x od obou stran.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Sloučením -4x a -4x získáte -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Odečtěte 8 od obou stran.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Odečtěte 8 od 20 a dostanete 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Odečtěte y^{2} od obou stran.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Sloučením y^{2} a -y^{2} získáte 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Přidat 4y na obě strany.

$$-8x=12-8y+4y$$

Sloučením -8y a 4y získáte -4y.

$$-8x=12-4y$$

Vydělte obě strany hodnotou -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Dělení číslem -8 ruší násobení číslem -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Vydělte číslo 12-4y číslem -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Dosaďte \frac{y-3}{2} za x v rovnici \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{y-3}{2} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Rovnice \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} má jedinečné řešení.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Vyřešte pro: y

$$y=2x+3$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(y-2\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sečtením 4 a 4 získáte 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} na 2 získáte x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Opakem -2 je 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x+2\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(y-4\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Sečtením 4 a 16 získáte 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} na 2 získáte x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Odečtěte y^{2} od obou stran.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Sloučením y^{2} a -y^{2} získáte 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Přidat 8y na obě strany.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Sloučením -4y a 8y získáte 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Sloučením x^{2} a -x^{2} získáte 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Přidat 4x na obě strany.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Sloučením 4x a 4x získáte 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Odečtěte 8 od obou stran.

$$4y=8x+20-8$$

Odečtěte 8 od 20 a dostanete 12.

$$4y=8x+12$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Vydělte číslo 8x+12 číslem 4.

$$y=2x+3$$

Dosaďte 2x+3 za y v rovnici \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota y=2x+3 splňuje požadavky rovnice.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Rovnice \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} má jedinečné řešení.

$$y=2x+3$$