Vyřešit sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Vyřešte pro: x

$$x=y+2$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(7-x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(1-y\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sečtením 49 a 1 získáte 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} na 2 získáte 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(3-x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(5-y\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Sečtením 9 a 25 získáte 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} na 2 získáte 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Přidat 6x na obě strany.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Sloučením -14x a 6x získáte -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Sloučením x^{2} a -x^{2} získáte 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Odečtěte 50 od obou stran.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Odečtěte 50 od 34 a dostanete -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Přidat 2y na obě strany.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Sloučením -10y a 2y získáte -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Odečtěte y^{2} od obou stran.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Sloučením y^{2} a -y^{2} získáte 0.

$$-8x=-16-8y$$

Rovnice je ve standardním tvaru.

$$-8x=-8y-16$$

Vydělte obě strany hodnotou -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

Dělení číslem -8 ruší násobení číslem -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Vydělte číslo -16-8y číslem -8.

$$x=y+2$$

Dosaďte y+2 za x v rovnici \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=y+2 splňuje požadavky rovnice.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

Rovnice \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} má jedinečné řešení.

$$x=y+2$$

Vyřešte pro: y

$$y=x-2$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(7-x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(1-y\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sečtením 49 a 1 získáte 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} na 2 získáte 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(3-x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(5-y\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Sečtením 9 a 25 získáte 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} na 2 získáte 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Přidat 10y na obě strany.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Sloučením -2y a 10y získáte 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Odečtěte y^{2} od obou stran.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Sloučením y^{2} a -y^{2} získáte 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Odečtěte 50 od obou stran.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Odečtěte 50 od 34 a dostanete -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Přidat 14x na obě strany.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Sloučením -6x a 14x získáte 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Sloučením x^{2} a -x^{2} získáte 0.

$$8y=-16+8x$$

Rovnice je ve standardním tvaru.

$$8y=8x-16$$

Vydělte obě strany hodnotou 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

Dělení číslem 8 ruší násobení číslem 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Vydělte číslo -16+8x číslem 8.

$$y=x-2$$

Dosaďte x-2 za y v rovnici \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota y=x-2 splňuje požadavky rovnice.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

Rovnice \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} má jedinečné řešení.

$$y=x-2$$