Vyřešit {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$3x+5y=4$$

Odečtěte hodnotu 5y od obou stran rovnice.

$$3x=-5y+4$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Dosaďte \frac{-5y+4}{3} za x ve druhé rovnici, x-3y=6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

Přidejte uživatele -\frac{5y}{3} do skupiny -3y.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

Odečtěte hodnotu \frac{4}{3} od obou stran rovnice.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{14}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=-1$$

V rovnici x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} dosaďte y za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

Vynásobte číslo -\frac{5}{3} číslem -1.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Připočítejte \frac{4}{3} ke \frac{5}{3} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=3,y=-1$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=3,y=-1$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Pokud chcete, aby byly členy 3x a x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 3.

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Proveďte zjednodušení.

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

Odečtěte rovnici 3x-9y=18 od rovnice 3x+5y=4 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

Přidejte uživatele 3x do skupiny -3x. Členy 3x a -3x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$5y+9y=4-18$$

Přidejte uživatele 5y do skupiny 9y.

$$14y=4-18$$

Přidejte uživatele 4 do skupiny -18.

$$14y=-14$$

Vydělte obě strany hodnotou 14.

$$y=-1$$

V rovnici x-3y=6 dosaďte y za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x-3\left(-1\right)=6$$

Vynásobte číslo -3 číslem -1.

$$x+3=6$$

Odečtěte hodnotu 3 od obou stran rovnice.

$$x=3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=3,y=-1$$