Vyřešit {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Přidat y na obě strany.

$$x+y=5$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+y=5$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$x=-y+5$$

Dosaďte -y+5 za x ve druhé rovnici, 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Vynásobte číslo 7 číslem -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Přidejte uživatele -7y do skupiny 3y.

$$-4y+35=47$$

Odečtěte hodnotu 35 od obou stran rovnice.

$$-4y=12$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$y=-3$$

V rovnici x=-y+5 dosaďte y za proměnnou -3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Vynásobte číslo -1 číslem -3.

$$x=3+5$$

Přidejte uživatele 5 do skupiny 3.

$$x=8$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=8,y=-3$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Přidat y na obě strany.

$$x+y=5$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=8,y=-3$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Přidat y na obě strany.

$$x+y=5$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Pokud chcete, aby byly členy x a 7x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 7 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Proveďte zjednodušení.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Odečtěte rovnici 7x+3y=47 od rovnice 7x+7y=35 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Přidejte uživatele 7x do skupiny -7x. Členy 7x a -7x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$7y-3y=35-47$$

Přidejte uživatele 7y do skupiny -3y.

$$4y=35-47$$

Přidejte uživatele 35 do skupiny -47.

$$4y=-12$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$y=-3$$

V rovnici 7x+3y=47 dosaďte y za proměnnou -3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Vynásobte číslo 3 číslem -3.

$$7x-9=47$$

Připočítejte 9 k oběma stranám rovnice.

$$7x=56$$

Vydělte obě strany hodnotou 7.

$$x=8$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=8,y=-3$$