Vyřešit {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$5x-4y=-7$$

Připočítejte 4y k oběma stranám rovnice.

$$5x=4y-7$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{5} číslem 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Dosaďte \frac{4y-7}{5} za x ve druhé rovnici, -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Vynásobte číslo -6 číslem \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Přidejte uživatele -\frac{24y}{5} do skupiny 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Odečtěte hodnotu \frac{42}{5} od obou stran rovnice.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{16}{5}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=-2$$

V rovnici x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5} dosaďte y za proměnnou -2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Vynásobte číslo \frac{4}{5} číslem -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Připočítejte -\frac{7}{5} ke -\frac{8}{5} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=-3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-3,y=-2$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-3,y=-2$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Pokud chcete, aby byly členy 5x a -6x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem -6 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Proveďte zjednodušení.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Odečtěte rovnici -30x+40y=10 od rovnice -30x+24y=42 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Přidejte uživatele -30x do skupiny 30x. Členy -30x a 30x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$24y-40y=42-10$$

Přidejte uživatele 24y do skupiny -40y.

$$-16y=42-10$$

Přidejte uživatele 42 do skupiny -10.

$$-16y=32$$

Vydělte obě strany hodnotou -16.

$$y=-2$$

V rovnici -6x+8y=2 dosaďte y za proměnnou -2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Vynásobte číslo 8 číslem -2.

$$-6x-16=2$$

Připočítejte 16 k oběma stranám rovnice.

$$-6x=18$$

Vydělte obě strany hodnotou -6.

$$x=-3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-3,y=-2$$