Vyřešit {l}{y=-x}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: y, x

$$x=-2$$

$$y=2$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Přidat x na obě strany.

$$y+x=0$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=6$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji y izolováním y na levé straně rovnice.

$$y+x=0$$

Odečtěte hodnotu x od obou stran rovnice.

$$y=-x$$

Dosaďte -x za y ve druhé rovnici, y-2x=6.

$$-x-2x=6$$

Přidejte uživatele -x do skupiny -2x.

$$-3x=6$$

Vydělte obě strany hodnotou -3.

$$x=-2$$

V rovnici y=-x dosaďte x za proměnnou -2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y=-\left(-2\right)$$

Vynásobte číslo -1 číslem -2.

$$y=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=2,x=-2$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Přidat x na obě strany.

$$y+x=0$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=6$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice y a x.

$$y=2,x=-2$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Přidat x na obě strany.

$$y+x=0$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=6$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Odečtěte rovnici y-2x=6 od rovnice y+x=0 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$y-y+x+2x=-6$$

Přidejte uživatele y do skupiny -y. Členy y a -y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$x+2x=-6$$

Přidejte uživatele x do skupiny 2x.

$$3x=-6$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=-2$$

V rovnici y-2x=6 dosaďte x za proměnnou -2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y-2\left(-2\right)=6$$

Vynásobte číslo -2 číslem -2.

$$y+4=6$$

Odečtěte hodnotu 4 od obou stran rovnice.

$$y=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=2,x=-2$$