Vyřešit {l}{y=-3x+5}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x + 5 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: y, x

$$x=1$$

$$y=2$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Přidat 3x na obě strany.

$$y+3x=5$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=0$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji y izolováním y na levé straně rovnice.

$$y+3x=5$$

Odečtěte hodnotu 3x od obou stran rovnice.

$$y=-3x+5$$

Dosaďte -3x+5 za y ve druhé rovnici, y-2x=0.

$$-3x+5-2x=0$$

Přidejte uživatele -3x do skupiny -2x.

$$-5x+5=0$$

Odečtěte hodnotu 5 od obou stran rovnice.

$$-5x=-5$$

Vydělte obě strany hodnotou -5.

$$x=1$$

V rovnici y=-3x+5 dosaďte x za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y=-3+5$$

Přidejte uživatele 5 do skupiny -3.

$$y=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=2,x=1$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Přidat 3x na obě strany.

$$y+3x=5$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=0$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{3}{-2-3}\\-\frac{1}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice y a x.

$$y=2,x=1$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Přidat 3x na obě strany.

$$y+3x=5$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=0$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Odečtěte rovnici y-2x=0 od rovnice y+3x=5 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$y-y+3x+2x=5$$

Přidejte uživatele y do skupiny -y. Členy y a -y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$3x+2x=5$$

Přidejte uživatele 3x do skupiny 2x.

$$5x=5$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$x=1$$

V rovnici y-2x=0 dosaďte x za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y-2=0$$

Připočítejte 2 k oběma stranám rovnice.

$$y=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=2,x=1$$