Vyřešit {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$x-3-y=0$$

Přidat 3 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$x-y=3$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$37-3x-y=0$$

Odečtěte 37 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$-3x-y=-37$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x-y=3$$

Připočítejte y k oběma stranám rovnice.

$$x=y+3$$

Dosaďte y+3 za x ve druhé rovnici, -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Vynásobte číslo -3 číslem y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Přidejte uživatele -3y do skupiny -y.

$$-4y-9=-37$$

Připočítejte 9 k oběma stranám rovnice.

$$-4y=-28$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$y=7$$

V rovnici x=y+3 dosaďte y za proměnnou 7. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=7+3$$

Přidejte uživatele 3 do skupiny 7.

$$x=10$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=10,y=7$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$x-3-y=0$$

Přidat 3 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$x-y=3$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$37-3x-y=0$$

Odečtěte 37 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$-3x-y=-37$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=10,y=7$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$x-3-y=0$$

Přidat 3 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$x-y=3$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$37-3x-y=0$$

Odečtěte 37 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$-3x-y=-37$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Odečtěte rovnici -3x-y=-37 od rovnice x-y=3 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Přidejte uživatele -y do skupiny y. Členy -y a y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$x+3x=3+37$$

Přidejte uživatele x do skupiny 3x.

$$4x=3+37$$

Přidejte uživatele 3 do skupiny 37.

$$4x=40$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=10$$

V rovnici -3x-y=-37 dosaďte x za proměnnou 10. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$-3\times 10-y=-37$$

Vynásobte číslo -3 číslem 10.

$$-30-y=-37$$

Připočítejte 30 k oběma stranám rovnice.

$$-y=-7$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$y=7$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=10,y=7$$