Vyřešit {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 3y od obou stran.

$$x+36-3y=0$$

Odečtěte 36 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$x-3y=-36$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+y=90$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$x=-y+90$$

Dosaďte -y+90 za x ve druhé rovnici, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Přidejte uživatele -y do skupiny -3y.

$$-4y+90=-36$$

Odečtěte hodnotu 90 od obou stran rovnice.

$$-4y=-126$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

V rovnici x=-y+90 dosaďte y za proměnnou \frac{63}{2}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Přidejte uživatele 90 do skupiny -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Postup použití matic

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 3y od obou stran.

$$x+36-3y=0$$

Odečtěte 36 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$x-3y=-36$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 3y od obou stran.

$$x+36-3y=0$$

Odečtěte 36 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$x-3y=-36$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Odečtěte rovnici x-3y=-36 od rovnice x+y=90 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Přidejte uživatele x do skupiny -x. Členy x a -x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$y+3y=90+36$$

Přidejte uživatele y do skupiny 3y.

$$4y=90+36$$

Přidejte uživatele 90 do skupiny 36.

$$4y=126$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

V rovnici x-3y=-36 dosaďte y za proměnnou \frac{63}{2}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Vynásobte číslo -3 číslem \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Připočítejte \frac{189}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{117}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$