Vyřešit {l}{x+y=27}{x-y=-145}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { x - y = - 145 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-59$$

$$y=86$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+y=27$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$x=-y+27$$

Dosaďte -y+27 za x ve druhé rovnici, x-y=-145.

$$-y+27-y=-145$$

Přidejte uživatele -y do skupiny -y.

$$-2y+27=-145$$

Odečtěte hodnotu 27 od obou stran rovnice.

$$-2y=-172$$

Vydělte obě strany hodnotou -2.

$$y=86$$

V rovnici x=-y+27 dosaďte y za proměnnou 86. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-86+27$$

Přidejte uživatele 27 do skupiny -86.

$$x=-59$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-59,y=86$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27+\frac{1}{2}\left(-145\right)\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{1}{2}\left(-145\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-59\\86\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-59,y=86$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Odečtěte rovnici x-y=-145 od rovnice x+y=27 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$x-x+y+y=27+145$$

Přidejte uživatele x do skupiny -x. Členy x a -x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$y+y=27+145$$

Přidejte uživatele y do skupiny y.

$$2y=27+145$$

Přidejte uživatele 27 do skupiny 145.

$$2y=172$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$y=86$$

V rovnici x-y=-145 dosaďte y za proměnnou 86. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x-86=-145$$

Připočítejte 86 k oběma stranám rovnice.

$$x=-59$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-59,y=86$$