Vyřešit {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+3y=7$$

Odečtěte hodnotu 3y od obou stran rovnice.

$$x=-3y+7$$

Dosaďte -3y+7 za x ve druhé rovnici, 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Vynásobte číslo 3 číslem -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Přidejte uživatele -9y do skupiny y.

$$-8y+21=17$$

Odečtěte hodnotu 21 od obou stran rovnice.

$$-8y=-4$$

Vydělte obě strany hodnotou -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

V rovnici x=-3y+7 dosaďte y za proměnnou \frac{1}{2}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

Vynásobte číslo -3 číslem \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Přidejte uživatele 7 do skupiny -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Pokud chcete, aby byly členy x a 3x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 3 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Proveďte zjednodušení.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

Odečtěte rovnici 3x+y=17 od rovnice 3x+9y=21 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Přidejte uživatele 3x do skupiny -3x. Členy 3x a -3x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$9y-y=21-17$$

Přidejte uživatele 9y do skupiny -y.

$$8y=21-17$$

Přidejte uživatele 21 do skupiny -17.

$$8y=4$$

Vydělte obě strany hodnotou 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

V rovnici 3x+y=17 dosaďte y za proměnnou \frac{1}{2}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{2} od obou stran rovnice.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$