Vyřešit {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$x+15-y=0$$

Odečtěte 15 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$x-y=-15$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$4x-y=0$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x-y=-15$$

Připočítejte y k oběma stranám rovnice.

$$x=y-15$$

Dosaďte y-15 za x ve druhé rovnici, 4x-y=0.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Vynásobte číslo 4 číslem y-15.

$$4y-60-y=0$$

Přidejte uživatele 4y do skupiny -y.

$$3y-60=0$$

Připočítejte 60 k oběma stranám rovnice.

$$3y=60$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$y=20$$

V rovnici x=y-15 dosaďte y za proměnnou 20. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=20-15$$

Přidejte uživatele -15 do skupiny 20.

$$x=5$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=5,y=20$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$x+15-y=0$$

Odečtěte 15 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$x-y=-15$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$4x-y=0$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=5,y=20$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$x+15-y=0$$

Odečtěte 15 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$x-y=-15$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte y od obou stran.

$$4x-y=0$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Odečtěte rovnici 4x-y=0 od rovnice x-y=-15 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$x-4x-y+y=-15$$

Přidejte uživatele -y do skupiny y. Členy -y a y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$x-4x=-15$$

Přidejte uživatele x do skupiny -4x.

$$-3x=-15$$

Vydělte obě strany hodnotou -3.

$$x=5$$

V rovnici 4x-y=0 dosaďte x za proměnnou 5. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$4\times 5-y=0$$

Vynásobte číslo 4 číslem 5.

$$20-y=0$$

Odečtěte hodnotu 20 od obou stran rovnice.

$$-y=-20$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$y=20$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=5,y=20$$