Vyřešit {l}{800=x+20y}{700=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=400$$

$$y=20$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Přehoďte strany rovnice tak, aby všechny proměnné byly na její levé straně.

$$x+20y=800$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přehoďte strany rovnice tak, aby všechny proměnné byly na její levé straně.

$$x+15y=700$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+20y=800$$

Odečtěte hodnotu 20y od obou stran rovnice.

$$x=-20y+800$$

Dosaďte -20y+800 za x ve druhé rovnici, x+15y=700.

$$-20y+800+15y=700$$

Přidejte uživatele -20y do skupiny 15y.

$$-5y+800=700$$

Odečtěte hodnotu 800 od obou stran rovnice.

$$-5y=-100$$

Vydělte obě strany hodnotou -5.

$$y=20$$

V rovnici x=-20y+800 dosaďte y za proměnnou 20. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-20\times 20+800$$

Vynásobte číslo -20 číslem 20.

$$x=-400+800$$

Přidejte uživatele 800 do skupiny -400.

$$x=400$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=400,y=20$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Přehoďte strany rovnice tak, aby všechny proměnné byly na její levé straně.

$$x+20y=800$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přehoďte strany rovnice tak, aby všechny proměnné byly na její levé straně.

$$x+15y=700$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=400,y=20$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Přehoďte strany rovnice tak, aby všechny proměnné byly na její levé straně.

$$x+20y=800$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přehoďte strany rovnice tak, aby všechny proměnné byly na její levé straně.

$$x+15y=700$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Odečtěte rovnici x+15y=700 od rovnice x+20y=800 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Přidejte uživatele x do skupiny -x. Členy x a -x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$20y-15y=800-700$$

Přidejte uživatele 20y do skupiny -15y.

$$5y=800-700$$

Přidejte uživatele 800 do skupiny -700.

$$5y=100$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$y=20$$

V rovnici x+15y=700 dosaďte y za proměnnou 20. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x+15\times 20=700$$

Vynásobte číslo 15 číslem 20.

$$x+300=700$$

Odečtěte hodnotu 300 od obou stran rovnice.

$$x=400$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=400,y=20$$