Vyřešit {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 2y od obou stran.

$$8+4x-2y=0$$

Odečtěte 8 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$4x-2y=-8$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat 3y na obě strany.

$$-4x+3y=14$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$4x-2y=-8$$

Připočítejte 2y k oběma stranám rovnice.

$$4x=2y-8$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslem -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Dosaďte \frac{y}{2}-2 za x ve druhé rovnici, -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Vynásobte číslo -4 číslem \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Přidejte uživatele -2y do skupiny 3y.

$$y+8=14$$

Odečtěte hodnotu 8 od obou stran rovnice.

$$y=6$$

V rovnici x=\frac{1}{2}y-2 dosaďte y za proměnnou 6. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem 6.

$$x=3-2$$

Přidejte uživatele -2 do skupiny 3.

$$x=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=1,y=6$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 2y od obou stran.

$$8+4x-2y=0$$

Odečtěte 8 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$4x-2y=-8$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat 3y na obě strany.

$$-4x+3y=14$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=1,y=6$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 2y od obou stran.

$$8+4x-2y=0$$

Odečtěte 8 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$4x-2y=-8$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat 3y na obě strany.

$$-4x+3y=14$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Pokud chcete, aby byly členy 4x a -4x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem -4 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Proveďte zjednodušení.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Odečtěte rovnici -16x+12y=56 od rovnice -16x+8y=32 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Přidejte uživatele -16x do skupiny 16x. Členy -16x a 16x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$8y-12y=32-56$$

Přidejte uživatele 8y do skupiny -12y.

$$-4y=32-56$$

Přidejte uživatele 32 do skupiny -56.

$$-4y=-24$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$y=6$$

V rovnici -4x+3y=14 dosaďte y za proměnnou 6. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$-4x+3\times 6=14$$

Vynásobte číslo 3 číslem 6.

$$-4x+18=14$$

Odečtěte hodnotu 18 od obou stran rovnice.

$$-4x=-4$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$x=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=1,y=6$$