Vyřešit {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$5x+y=9$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$5x=-y+9$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{5} číslem -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Dosaďte \frac{-y+9}{5} za x ve druhé rovnici, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Vynásobte číslo 10 číslem \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Přidejte uživatele -2y do skupiny -7y.

$$-9y+18=-18$$

Odečtěte hodnotu 18 od obou stran rovnice.

$$-9y=-36$$

Vydělte obě strany hodnotou -9.

$$y=4$$

V rovnici x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5} dosaďte y za proměnnou 4. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{5} číslem 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Připočítejte \frac{9}{5} ke -\frac{4}{5} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=1,y=4$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=1,y=4$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Pokud chcete, aby byly členy 5x a 10x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 10 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Odečtěte rovnici 50x-35y=-90 od rovnice 50x+10y=90 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Přidejte uživatele 50x do skupiny -50x. Členy 50x a -50x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$10y+35y=90+90$$

Přidejte uživatele 10y do skupiny 35y.

$$45y=90+90$$

Přidejte uživatele 90 do skupiny 90.

$$45y=180$$

Vydělte obě strany hodnotou 45.

$$y=4$$

V rovnici 10x-7y=-18 dosaďte y za proměnnou 4. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$10x-7\times 4=-18$$

Vynásobte číslo -7 číslem 4.

$$10x-28=-18$$

Připočítejte 28 k oběma stranám rovnice.

$$10x=10$$

Vydělte obě strany hodnotou 10.

$$x=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=1,y=4$$