Vyřešit {l}{4x+y=8}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$4x+y=8$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$4x=-y+8$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslem -y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

Dosaďte -\frac{y}{4}+2 za x ve druhé rovnici, x-y=2.

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

Přidejte uživatele -\frac{y}{4} do skupiny -y.

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

Odečtěte hodnotu 2 od obou stran rovnice.

$$-\frac{5}{4}y=0$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{5}{4}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=0$$

V rovnici x=-\frac{1}{4}y+2 dosaďte y za proměnnou 0. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=2,y=0$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=2,y=0$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Pokud chcete, aby byly členy 4x a x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 4.

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

Proveďte zjednodušení.

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

Odečtěte rovnici 4x-4y=8 od rovnice 4x+y=8 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

Přidejte uživatele 4x do skupiny -4x. Členy 4x a -4x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$y+4y=8-8$$

Přidejte uživatele y do skupiny 4y.

$$5y=8-8$$

Přidejte uživatele 8 do skupiny -8.

$$5y=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$y=0$$

V rovnici x-y=2 dosaďte y za proměnnou 0. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=2,y=0$$