Vyřešit {l}{4x+y=7}{3x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$4x+y=7$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$4x=-y+7$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslem -y+7.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

Dosaďte \frac{-y+7}{4} za x ve druhé rovnici, 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

Vynásobte číslo 3 číslem \frac{-y+7}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

Přidejte uživatele -\frac{3y}{4} do skupiny 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Odečtěte hodnotu \frac{21}{4} od obou stran rovnice.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{5}{4}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=3$$

V rovnici x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4} dosaďte y za proměnnou 3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{4} číslem 3.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Připočítejte \frac{7}{4} ke -\frac{3}{4} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=1,y=3$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=1,y=3$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Pokud chcete, aby byly členy 4x a 3x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 3 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

Proveďte zjednodušení.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

Odečtěte rovnici 12x+8y=36 od rovnice 12x+3y=21 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

Přidejte uživatele 12x do skupiny -12x. Členy 12x a -12x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$3y-8y=21-36$$

Přidejte uživatele 3y do skupiny -8y.

$$-5y=21-36$$

Přidejte uživatele 21 do skupiny -36.

$$-5y=-15$$

Vydělte obě strany hodnotou -5.

$$y=3$$

V rovnici 3x+2y=9 dosaďte y za proměnnou 3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$3x+2\times 3=9$$

Vynásobte číslo 2 číslem 3.

$$3x+6=9$$

Odečtěte hodnotu 6 od obou stran rovnice.

$$3x=3$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=1,y=3$$