Vyřešit {l}{4x+2y=2}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$4x+2y=2$$

Odečtěte hodnotu 2y od obou stran rovnice.

$$4x=-2y+2$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslem -2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{-y+1}{2} za x ve druhé rovnici, x+y=4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Přidejte uživatele -\frac{y}{2} do skupiny y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{2} od obou stran rovnice.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Vynásobte obě strany hodnotou 2.

$$y=7$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} dosaďte y za proměnnou 7. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{2} číslem 7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Připočítejte \frac{1}{2} ke -\frac{7}{2} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=-3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-3,y=7$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-3,y=7$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Pokud chcete, aby byly členy 4x a x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Proveďte zjednodušení.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

Odečtěte rovnici 4x+4y=16 od rovnice 4x+2y=2 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Přidejte uživatele 4x do skupiny -4x. Členy 4x a -4x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$2y-4y=2-16$$

Přidejte uživatele 2y do skupiny -4y.

$$-2y=2-16$$

Přidejte uživatele 2 do skupiny -16.

$$-2y=-14$$

Vydělte obě strany hodnotou -2.

$$y=7$$

V rovnici x+y=4 dosaďte y za proměnnou 7. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x+7=4$$

Odečtěte hodnotu 7 od obou stran rovnice.

$$x=-3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-3,y=7$$