Vyřešit {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x_{1} izolováním x_{1} na levé straně rovnice.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Odečtěte hodnotu 3x_{2} od obou stran rovnice.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Dosaďte \frac{-3x_{2}+7}{2} za x_{1} ve druhé rovnici, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Vynásobte číslo 4 číslem \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Přidejte uživatele -6x_{2} do skupiny -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Odečtěte hodnotu 14 od obou stran rovnice.

$$-10x_{2}=-20$$

Vydělte obě strany hodnotou -10.

$$x_{2}=2$$

V rovnici x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} dosaďte x_{2} za proměnnou 2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x_{1} vypočítat přímo.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Vynásobte číslo -\frac{3}{2} číslem 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Přidejte uživatele \frac{7}{2} do skupiny -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x_{1} a x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x_{1} a 4x_{1} stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 4 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Odečtěte rovnici 8x_{1}-8x_{2}=-12 od rovnice 8x_{1}+12x_{2}=28 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Přidejte uživatele 8x_{1} do skupiny -8x_{1}. Členy 8x_{1} a -8x_{1} se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Přidejte uživatele 12x_{2} do skupiny 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Přidejte uživatele 28 do skupiny 12.

$$20x_{2}=40$$

Vydělte obě strany hodnotou 20.

$$x_{2}=2$$

V rovnici 4x_{1}-4x_{2}=-6 dosaďte x_{2} za proměnnou 2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x_{1} vypočítat přímo.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Vynásobte číslo -4 číslem 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Připočítejte 8 k oběma stranám rovnice.

$$4x_{1}=2$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$