Vyřešit {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 7x od obou stran.

$$y-7x=3$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x+y=-6$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$2x=-y-6$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Dosaďte -\frac{y}{2}-3 za x ve druhé rovnici, -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Vynásobte číslo -7 číslem -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Přidejte uživatele \frac{7y}{2} do skupiny y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Odečtěte hodnotu 21 od obou stran rovnice.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{9}{2}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=-4$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y-3 dosaďte y za proměnnou -4. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{2} číslem -4.

$$x=2-3$$

Přidejte uživatele -3 do skupiny 2.

$$x=-1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1,y=-4$$

Postup použití matic

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 7x od obou stran.

$$y-7x=3$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-1,y=-4$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 7x od obou stran.

$$y-7x=3$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Odečtěte rovnici -7x+y=3 od rovnice 2x+y=-6 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Přidejte uživatele y do skupiny -y. Členy y a -y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$2x+7x=-6-3$$

Přidejte uživatele 2x do skupiny 7x.

$$9x=-6-3$$

Přidejte uživatele -6 do skupiny -3.

$$9x=-9$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$x=-1$$

V rovnici -7x+y=3 dosaďte x za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Vynásobte číslo -7 číslem -1.

$$7+y=3$$

Odečtěte hodnotu 7 od obou stran rovnice.

$$y=-4$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1,y=-4$$