Vyřešit {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x+5y=259$$

Odečtěte hodnotu 5y od obou stran rovnice.

$$2x=-5y+259$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Dosaďte \frac{-5y+259}{2} za x ve druhé rovnici, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Vynásobte číslo 199 číslem \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Přidejte uživatele -\frac{995y}{2} do skupiny -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Odečtěte hodnotu \frac{51541}{2} od obou stran rovnice.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{999}{2}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=\frac{16429}{333}$$

V rovnici x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} dosaďte y za proměnnou \frac{16429}{333}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Vynásobte zlomek -\frac{5}{2} zlomkem \frac{16429}{333} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Připočítejte \frac{259}{2} ke -\frac{82145}{666} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a 199x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 199 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Proveďte zjednodušení.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Odečtěte rovnici 398x-4y=2254 od rovnice 398x+995y=51541 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Přidejte uživatele 398x do skupiny -398x. Členy 398x a -398x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$995y+4y=51541-2254$$

Přidejte uživatele 995y do skupiny 4y.

$$999y=51541-2254$$

Přidejte uživatele 51541 do skupiny -2254.

$$999y=49287$$

Vydělte obě strany hodnotou 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

V rovnici 199x-2y=1127 dosaďte y za proměnnou \frac{16429}{333}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Vynásobte číslo -2 číslem \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Připočítejte \frac{32858}{333} k oběma stranám rovnice.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Vydělte obě strany hodnotou 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$