Vyřešit {l}{2x+16y=22}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x+16y=22$$

Odečtěte hodnotu 16y od obou stran rovnice.

$$2x=-16y+22$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -16y+22.

$$x=-8y+11$$

Dosaďte -8y+11 za x ve druhé rovnici, 4x+8y=20.

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

Vynásobte číslo 4 číslem -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

Přidejte uživatele -32y do skupiny 8y.

$$-24y+44=20$$

Odečtěte hodnotu 44 od obou stran rovnice.

$$-24y=-24$$

Vydělte obě strany hodnotou -24.

$$y=1$$

V rovnici x=-8y+11 dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-8+11$$

Přidejte uživatele 11 do skupiny -8.

$$x=3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=3,y=1$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=3,y=1$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a 4x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 4 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

Proveďte zjednodušení.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

Odečtěte rovnici 8x+16y=40 od rovnice 8x+64y=88 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

Přidejte uživatele 8x do skupiny -8x. Členy 8x a -8x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$64y-16y=88-40$$

Přidejte uživatele 64y do skupiny -16y.

$$48y=88-40$$

Přidejte uživatele 88 do skupiny -40.

$$48y=48$$

Vydělte obě strany hodnotou 48.

$$y=1$$

V rovnici 4x+8y=20 dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$4x+8=20$$

Odečtěte hodnotu 8 od obou stran rovnice.

$$4x=12$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=3,y=1$$