Vyřešit {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$12x+4y=6$$

Odečtěte hodnotu 4y od obou stran rovnice.

$$12x=-4y+6$$

Vydělte obě strany hodnotou 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{12} číslem -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} za x ve druhé rovnici, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Vynásobte číslo 9 číslem -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Přidejte uživatele -3y do skupiny 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Odečtěte hodnotu \frac{9}{2} od obou stran rovnice.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Vydělte obě strany hodnotou 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

V rovnici x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} dosaďte y za proměnnou \frac{7}{26}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Vynásobte zlomek -\frac{1}{3} zlomkem \frac{7}{26} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Připočítejte \frac{1}{2} ke -\frac{7}{78} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=\frac{16}{39}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Pokud chcete, aby byly členy 12x a 9x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 9 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Proveďte zjednodušení.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Odečtěte rovnici 108x+192y=96 od rovnice 108x+36y=54 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Přidejte uživatele 108x do skupiny -108x. Členy 108x a -108x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$36y-192y=54-96$$

Přidejte uživatele 36y do skupiny -192y.

$$-156y=54-96$$

Přidejte uživatele 54 do skupiny -96.

$$-156y=-42$$

Vydělte obě strany hodnotou -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

V rovnici 9x+16y=8 dosaďte y za proměnnou \frac{7}{26}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Vynásobte číslo 16 číslem \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Odečtěte hodnotu \frac{56}{13} od obou stran rovnice.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$