Vyřešit {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 6, nejmenším společným násobkem čísel 3,2.

$$2x-3y=48$$

Zvažte použití druhé rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 15, nejmenším společným násobkem čísel 5,3.

$$3x+5y=15$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x-3y=48$$

Připočítejte 3y k oběma stranám rovnice.

$$2x=3y+48$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Dosaďte \frac{3y}{2}+24 za x ve druhé rovnici, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Vynásobte číslo 3 číslem \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Přidejte uživatele \frac{9y}{2} do skupiny 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Odečtěte hodnotu 72 od obou stran rovnice.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{19}{2}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=-6$$

V rovnici x=\frac{3}{2}y+24 dosaďte y za proměnnou -6. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Vynásobte číslo \frac{3}{2} číslem -6.

$$x=-9+24$$

Přidejte uživatele 24 do skupiny -9.

$$x=15$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=15,y=-6$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 6, nejmenším společným násobkem čísel 3,2.

$$2x-3y=48$$

Zvažte použití druhé rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 15, nejmenším společným násobkem čísel 5,3.

$$3x+5y=15$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=15,y=-6$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 6, nejmenším společným násobkem čísel 3,2.

$$2x-3y=48$$

Zvažte použití druhé rovnice. Vynásobte obě strany rovnice číslem 15, nejmenším společným násobkem čísel 5,3.

$$3x+5y=15$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a 3x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 3 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Proveďte zjednodušení.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Odečtěte rovnici 6x+10y=30 od rovnice 6x-9y=144 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Přidejte uživatele 6x do skupiny -6x. Členy 6x a -6x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-9y-10y=144-30$$

Přidejte uživatele -9y do skupiny -10y.

$$-19y=144-30$$

Přidejte uživatele 144 do skupiny -30.

$$-19y=114$$

Vydělte obě strany hodnotou -19.

$$y=-6$$

V rovnici 3x+5y=15 dosaďte y za proměnnou -6. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Vynásobte číslo 5 číslem -6.

$$3x-30=15$$

Připočítejte 30 k oběma stranám rovnice.

$$3x=45$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=15$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=15,y=-6$$