Vyřešit {c}{x+y=9}{4x+5y=39}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = 39 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=6$$

$$y=3$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+y=9$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$x=-y+9$$

Dosaďte -y+9 za x ve druhé rovnici, 4x+5y=39.

$$4\left(-y+9\right)+5y=39$$

Vynásobte číslo 4 číslem -y+9.

$$-4y+36+5y=39$$

Přidejte uživatele -4y do skupiny 5y.

$$y+36=39$$

Odečtěte hodnotu 36 od obou stran rovnice.

$$y=3$$

V rovnici x=-y+9 dosaďte y za proměnnou 3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-3+9$$

Přidejte uživatele 9 do skupiny -3.

$$x=6$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=6,y=3$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4}&-\frac{1}{5-4}\\-\frac{4}{5-4}&\frac{1}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 9-39\\-4\times 9+39\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=6,y=3$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Pokud chcete, aby byly členy x a 4x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 4 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 1.

$$4x+4y=4\times 9,4x+5y=39$$

Proveďte zjednodušení.

$$4x+4y=36,4x+5y=39$$

Odečtěte rovnici 4x+5y=39 od rovnice 4x+4y=36 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$4x-4x+4y-5y=36-39$$

Přidejte uživatele 4x do skupiny -4x. Členy 4x a -4x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$4y-5y=36-39$$

Přidejte uživatele 4y do skupiny -5y.

$$-y=36-39$$

Přidejte uživatele 36 do skupiny -39.

$$-y=-3$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$y=3$$

V rovnici 4x+5y=39 dosaďte y za proměnnou 3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$4x+5\times 3=39$$

Vynásobte číslo 5 číslem 3.

$$4x+15=39$$

Odečtěte hodnotu 15 od obou stran rovnice.

$$4x=24$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=6$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=6,y=3$$