Vyřešit {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+y=21$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$x=-y+21$$

Dosaďte -y+21 za x ve druhé rovnici, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

Vynásobte číslo 0.25 číslem -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Přidejte uživatele -\frac{y}{4} do skupiny \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

Odečtěte hodnotu 5.25 od obou stran rovnice.

$$-0.2y=-1.9$$

Vynásobte obě strany hodnotou -5.

$$y=9.5$$

V rovnici x=-y+21 dosaďte y za proměnnou 9.5. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-9.5+21$$

Přidejte uživatele 21 do skupiny -9.5.

$$x=11.5$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=11.5,y=9.5$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=11.5,y=9.5$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Pokud chcete, aby byly členy x a \frac{x}{4} stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 0.25 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Proveďte zjednodušení.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

Odečtěte rovnici 0.25x+0.05y=3.35 od rovnice 0.25x+0.25y=5.25 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Přidejte uživatele \frac{x}{4} do skupiny -\frac{x}{4}. Členy \frac{x}{4} a -\frac{x}{4} se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Přidejte uživatele \frac{y}{4} do skupiny -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

Připočítejte 5.25 ke -3.35 zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$0.2y=1.9$$

Vynásobte obě strany hodnotou 5.

$$y=9.5$$

V rovnici 0.25x+0.05y=3.35 dosaďte y za proměnnou 9.5. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

Vynásobte zlomek 0.05 zlomkem 9.5 tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$0.25x+0.475=3.35$$

Odečtěte hodnotu 0.475 od obou stran rovnice.

$$0.25x=2.875$$

Vynásobte obě strany hodnotou 4.

$$x=11.5$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=11.5,y=9.5$$