Vyřešit {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji a izolováním a na levé straně rovnice.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Odečtěte hodnotu b od obou stran rovnice.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{3}{2}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Vynásobte číslo \frac{2}{3} číslem -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Dosaďte \frac{-2b+2}{3} za a ve druhé rovnici, a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Přidejte uživatele -\frac{2b}{3} do skupiny \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Odečtěte hodnotu \frac{2}{3} od obou stran rovnice.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Vynásobte obě strany hodnotou -6.

$$b=-38$$

V rovnici a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3} dosaďte b za proměnnou -38. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné a vypočítat přímo.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Vynásobte číslo -\frac{2}{3} číslem -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Připočítejte \frac{2}{3} ke \frac{76}{3} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$a=26$$

Systém je teď vyřešený.

$$a=26,b=-38$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice a a b.

$$a=26,b=-38$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Pokud chcete, aby byly členy \frac{3a}{2} a a stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Odečtěte rovnici \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} od rovnice \frac{3}{2}a+b=1 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Přidejte uživatele \frac{3a}{2} do skupiny -\frac{3a}{2}. Členy \frac{3a}{2} a -\frac{3a}{2} se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Přidejte uživatele b do skupiny -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Přidejte uživatele 1 do skupiny -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Vynásobte obě strany hodnotou 4.

$$b=-38$$

V rovnici a+\frac{1}{2}b=7 dosaďte b za proměnnou -38. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné a vypočítat přímo.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -38.

$$a-19=7$$

Připočítejte 19 k oběma stranám rovnice.

$$a=26$$

Systém je teď vyřešený.

$$a=26,b=-38$$