Vyřešit {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Vyřešte pro: y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 3x od obou stran.

$$y-3x=0$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro y izolováním y na levé straně rovnice.

$$y-3x=0$$

Připočítejte 3x k oběma stranám rovnice.

$$y=3x$$

Dosaďte 3x za y ve druhé rovnici, y+x=16.

$$3x+x=16$$

Přidejte uživatele 3x do skupiny x.

$$4x=16$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=4$$

V rovnici y=3x dosaďte x za proměnnou 4. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y=3\times 4$$

Vynásobte číslo 3 číslem 4.

$$y=12$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=12,x=4$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 3x od obou stran.

$$y-3x=0$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice y a x.

$$y=12,x=4$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 3x od obou stran.

$$y-3x=0$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Odečtěte rovnici y+x=16 od rovnice y-3x=0 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$y-y-3x-x=-16$$

Přidejte uživatele y do skupiny -y. Členy y a -y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-3x-x=-16$$

Přidejte uživatele -3x do skupiny -x.

$$-4x=-16$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$x=4$$

V rovnici y+x=16 dosaďte x za proměnnou 4. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y+4=16$$

Odečtěte hodnotu 4 od obou stran rovnice.

$$y=12$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=12,x=4$$