Vyřešit {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+2y=60$$

Odečtěte hodnotu 2y od obou stran rovnice.

$$x=-2y+60$$

Dosaďte -2y+60 za x ve druhé rovnici, x-y=30.

$$-2y+60-y=30$$

Přidejte uživatele -2y do skupiny -y.

$$-3y+60=30$$

Odečtěte hodnotu 60 od obou stran rovnice.

$$-3y=-30$$

Vydělte obě strany hodnotou -3.

$$y=10$$

V rovnici x=-2y+60 dosaďte y za proměnnou 10. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-2\times 10+60$$

Vynásobte číslo -2 číslem 10.

$$x=-20+60$$

Přidejte uživatele 60 do skupiny -20.

$$x=40$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=40,y=10$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=40,y=10$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Odečtěte rovnici x-y=30 od rovnice x+2y=60 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Přidejte uživatele x do skupiny -x. Členy x a -x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$2y+y=60-30$$

Přidejte uživatele 2y do skupiny y.

$$3y=60-30$$

Přidejte uživatele 60 do skupiny -30.

$$3y=30$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$y=10$$

V rovnici x-y=30 dosaďte y za proměnnou 10. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x-10=30$$

Připočítejte 10 k oběma stranám rovnice.

$$x=40$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=40,y=10$$