Vyřešit {l}{2x-3y=5}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x-3y=5$$

Připočítejte 3y k oběma stranám rovnice.

$$2x=3y+5$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Dosaďte \frac{3y+5}{2} za x ve druhé rovnici, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=5$$

Vynásobte číslo 3 číslem \frac{3y+5}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}-2y=5$$

Přidejte uživatele \frac{9y}{2} do skupiny -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Odečtěte hodnotu \frac{15}{2} od obou stran rovnice.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{5}{2}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=-1$$

V rovnici x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} dosaďte y za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Vynásobte číslo \frac{3}{2} číslem -1.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Připočítejte \frac{5}{2} ke -\frac{3}{2} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=1,y=-1$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=1,y=-1$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a 3x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 3 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5$$

Proveďte zjednodušení.

$$6x-9y=15,6x-4y=10$$

Odečtěte rovnici 6x-4y=10 od rovnice 6x-9y=15 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$6x-6x-9y+4y=15-10$$

Přidejte uživatele 6x do skupiny -6x. Členy 6x a -6x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-9y+4y=15-10$$

Přidejte uživatele -9y do skupiny 4y.

$$-5y=15-10$$

Přidejte uživatele 15 do skupiny -10.

$$-5y=5$$

Vydělte obě strany hodnotou -5.

$$y=-1$$

V rovnici 3x-2y=5 dosaďte y za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Vynásobte číslo -2 číslem -1.

$$3x+2=5$$

Odečtěte hodnotu 2 od obou stran rovnice.

$$3x=3$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=1,y=-1$$