Vyřešit {l}{2x-3y=15}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2.6$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x-3y=15$$

Připočítejte 3y k oběma stranám rovnice.

$$2x=3y+15$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Dosaďte \frac{15+3y}{2} za x ve druhé rovnici, x+y=1.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=1$$

Přidejte uživatele \frac{3y}{2} do skupiny y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

Odečtěte hodnotu \frac{15}{2} od obou stran rovnice.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{5}{2}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=-\frac{13}{5}$$

V rovnici x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2} dosaďte y za proměnnou -\frac{13}{5}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{13}{5}\right)+\frac{15}{2}$$

Vynásobte zlomek \frac{3}{2} zlomkem -\frac{13}{5} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=-\frac{39}{10}+\frac{15}{2}$$

Připočítejte \frac{15}{2} ke -\frac{39}{10} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=\frac{18}{5}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$2x-3y=15,2x+2y=2$$

Odečtěte rovnici 2x+2y=2 od rovnice 2x-3y=15 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$2x-2x-3y-2y=15-2$$

Přidejte uživatele 2x do skupiny -2x. Členy 2x a -2x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-3y-2y=15-2$$

Přidejte uživatele -3y do skupiny -2y.

$$-5y=15-2$$

Přidejte uživatele 15 do skupiny -2.

$$-5y=13$$

Vydělte obě strany hodnotou -5.

$$y=-\frac{13}{5}$$

V rovnici x+y=1 dosaďte y za proměnnou -\frac{13}{5}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x-\frac{13}{5}=1$$

Připočítejte \frac{13}{5} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{18}{5}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$