Vyřešit {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x+y=6$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$2x=-y+6$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Dosaďte -\frac{y}{2}+3 za x ve druhé rovnici, 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Vynásobte číslo 4 číslem -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

Přidejte uživatele -2y do skupiny -y.

$$-3y+12=7$$

Odečtěte hodnotu 12 od obou stran rovnice.

$$-3y=-5$$

Vydělte obě strany hodnotou -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y+3 dosaďte y za proměnnou \frac{5}{3}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Vynásobte zlomek -\frac{1}{2} zlomkem \frac{5}{3} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Přidejte uživatele 3 do skupiny -\frac{5}{6}.

$$x=\frac{13}{6}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a 4x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 4 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Proveďte zjednodušení.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

Odečtěte rovnici 8x-2y=14 od rovnice 8x+4y=24 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Přidejte uživatele 8x do skupiny -8x. Členy 8x a -8x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$4y+2y=24-14$$

Přidejte uživatele 4y do skupiny 2y.

$$6y=24-14$$

Přidejte uživatele 24 do skupiny -14.

$$6y=10$$

Vydělte obě strany hodnotou 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

V rovnici 4x-y=7 dosaďte y za proměnnou \frac{5}{3}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Připočítejte \frac{5}{3} k oběma stranám rovnice.

$$4x=\frac{26}{3}$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{13}{6}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$