Vyřešit {l}{2x+y=3}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x+y=3$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$2x=-y+3$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Dosaďte \frac{-y+3}{2} za x ve druhé rovnici, x-y=1.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1$$

Přidejte uživatele -\frac{y}{2} do skupiny -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Odečtěte hodnotu \frac{3}{2} od obou stran rovnice.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{3}{2}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=\frac{1}{3}$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} dosaďte y za proměnnou \frac{1}{3}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Vynásobte zlomek -\frac{1}{2} zlomkem \frac{1}{3} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}$$

Připočítejte \frac{3}{2} ke -\frac{1}{6} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=\frac{4}{3}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2$$

Proveďte zjednodušení.

$$2x+y=3,2x-2y=2$$

Odečtěte rovnici 2x-2y=2 od rovnice 2x+y=3 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$2x-2x+y+2y=3-2$$

Přidejte uživatele 2x do skupiny -2x. Členy 2x a -2x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$y+2y=3-2$$

Přidejte uživatele y do skupiny 2y.

$$3y=3-2$$

Přidejte uživatele 3 do skupiny -2.

$$3y=1$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

V rovnici x-y=1 dosaďte y za proměnnou \frac{1}{3}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x-\frac{1}{3}=1$$

Připočítejte \frac{1}{3} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{4}{3}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$