Vyřešit {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x+y=3$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$2x=-y+3$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Dosaďte \frac{-y+3}{2} za x ve druhé rovnici, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Přidejte uživatele -\frac{y}{2} do skupiny y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Odečtěte hodnotu \frac{3}{2} od obou stran rovnice.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Vynásobte obě strany hodnotou 2.

$$y=7$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} dosaďte y za proměnnou 7. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{2} číslem 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Připočítejte \frac{3}{2} ke -\frac{7}{2} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=-2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-2,y=7$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-2,y=7$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Odečtěte rovnici x+y=5 od rovnice 2x+y=3 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Přidejte uživatele y do skupiny -y. Členy y a -y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$2x-x=3-5$$

Přidejte uživatele 2x do skupiny -x.

$$x=3-5$$

Přidejte uživatele 3 do skupiny -5.

$$x=-2$$

V rovnici x+y=5 dosaďte x za proměnnou -2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$-2+y=5$$

Připočítejte 2 k oběma stranám rovnice.

$$y=7$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-2,y=7$$