Vyřešit {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x+4y=2060$$

Odečtěte hodnotu 4y od obou stran rovnice.

$$2x=-4y+2060$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Dosaďte -2y+1030 za x ve druhé rovnici, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Vynásobte číslo 5 číslem -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Přidejte uživatele -10y do skupiny 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Odečtěte hodnotu 5150 od obou stran rovnice.

$$-3y=-3510$$

Vydělte obě strany hodnotou -3.

$$y=1170$$

V rovnici x=-2y+1030 dosaďte y za proměnnou 1170. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Vynásobte číslo -2 číslem 1170.

$$x=-2340+1030$$

Přidejte uživatele 1030 do skupiny -2340.

$$x=-1310$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1310,y=1170$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-1310,y=1170$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a 5x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 5 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Proveďte zjednodušení.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Odečtěte rovnici 10x+14y=3280 od rovnice 10x+20y=10300 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Přidejte uživatele 10x do skupiny -10x. Členy 10x a -10x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$20y-14y=10300-3280$$

Přidejte uživatele 20y do skupiny -14y.

$$6y=10300-3280$$

Přidejte uživatele 10300 do skupiny -3280.

$$6y=7020$$

Vydělte obě strany hodnotou 6.

$$y=1170$$

V rovnici 5x+7y=1640 dosaďte y za proměnnou 1170. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Vynásobte číslo 7 číslem 1170.

$$5x+8190=1640$$

Odečtěte hodnotu 8190 od obou stran rovnice.

$$5x=-6550$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$x=-1310$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1310,y=1170$$