Vyřešit {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: m, n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji m izolováním m na levé straně rovnice.

$$2m+3n=1$$

Odečtěte hodnotu 3n od obou stran rovnice.

$$2m=-3n+1$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{-3n+1}{2} za m ve druhé rovnici, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Vynásobte číslo \frac{5}{3} číslem \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Přidejte uživatele -\frac{5n}{2} do skupiny -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Odečtěte hodnotu \frac{5}{6} od obou stran rovnice.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{9}{2}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$n=-\frac{1}{27}$$

V rovnici m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} dosaďte n za proměnnou -\frac{1}{27}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné m vypočítat přímo.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Vynásobte zlomek -\frac{3}{2} zlomkem -\frac{1}{27} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Připočítejte \frac{1}{2} ke \frac{1}{18} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$m=\frac{5}{9}$$

Systém je teď vyřešený.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice m a n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Pokud chcete, aby byly členy 2m a \frac{5m}{3} stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem \frac{5}{3} a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Odečtěte rovnici \frac{10}{3}m-4n=2 od rovnice \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Přidejte uživatele \frac{10m}{3} do skupiny -\frac{10m}{3}. Členy \frac{10m}{3} a -\frac{10m}{3} se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Přidejte uživatele 5n do skupiny 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Přidejte uživatele \frac{5}{3} do skupiny -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

V rovnici \frac{5}{3}m-2n=1 dosaďte n za proměnnou -\frac{1}{27}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné m vypočítat přímo.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Vynásobte číslo -2 číslem -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Odečtěte hodnotu \frac{2}{27} od obou stran rovnice.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{5}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$m=\frac{5}{9}$$

Systém je teď vyřešený.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$