Vyřešit {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Rozviňte výraz \left(x+2\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Sečtením 4 a 1 získáte 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Sloučením x^{2} a -x^{2} získáte 0.

$$4x+5=5y$$

Odečtěte 5y od obou stran.

$$4x+5-5y=0$$

Odečtěte 5 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$4x-5y=-5$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$4x-5y=-5$$

Připočítejte 5y k oběma stranám rovnice.

$$4x=5y-5$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslem -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Dosaďte \frac{-5+5y}{4} za x ve druhé rovnici, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Vynásobte číslo 3 číslem \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Přidejte uživatele \frac{15y}{4} do skupiny y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Připočítejte \frac{15}{4} k oběma stranám rovnice.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{19}{4}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=1$$

V rovnici x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4} dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Připočítejte -\frac{5}{4} ke \frac{5}{4} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=0$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=0,y=1$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Rozviňte výraz \left(x+2\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Sečtením 4 a 1 získáte 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Sloučením x^{2} a -x^{2} získáte 0.

$$4x+5=5y$$

Odečtěte 5y od obou stran.

$$4x+5-5y=0$$

Odečtěte 5 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$4x-5y=-5$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=0,y=1$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Rozviňte výraz \left(x+2\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Sečtením 4 a 1 získáte 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Sloučením x^{2} a -x^{2} získáte 0.

$$4x+5=5y$$

Odečtěte 5y od obou stran.

$$4x+5-5y=0$$

Odečtěte 5 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$4x-5y=-5$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Pokud chcete, aby byly členy 4x a 3x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 3 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Proveďte zjednodušení.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Odečtěte rovnici 12x+4y=4 od rovnice 12x-15y=-15 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Přidejte uživatele 12x do skupiny -12x. Členy 12x a -12x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-15y-4y=-15-4$$

Přidejte uživatele -15y do skupiny -4y.

$$-19y=-15-4$$

Přidejte uživatele -15 do skupiny -4.

$$-19y=-19$$

Vydělte obě strany hodnotou -19.

$$y=1$$

V rovnici 3x+y=1 dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$3x+1=1$$

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$3x=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=0$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=0,y=1$$