Vyřešit {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x-y=4$$

Připočítejte y k oběma stranám rovnice.

$$2x=y+4$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Dosaďte \frac{y}{2}+2 za x ve druhé rovnici, 4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

Vynásobte číslo 4 číslem \frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

Přidejte uživatele 2y do skupiny 3y.

$$5y+8=3$$

Odečtěte hodnotu 8 od obou stran rovnice.

$$5y=-5$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$y=-1$$

V rovnici x=\frac{1}{2}y+2 dosaďte y za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Přidejte uživatele 2 do skupiny -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a 4x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 4 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

Proveďte zjednodušení.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

Odečtěte rovnici 8x+6y=6 od rovnice 8x-4y=16 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

Přidejte uživatele 8x do skupiny -8x. Členy 8x a -8x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-4y-6y=16-6$$

Přidejte uživatele -4y do skupiny -6y.

$$-10y=16-6$$

Přidejte uživatele 16 do skupiny -6.

$$-10y=10$$

Vydělte obě strany hodnotou -10.

$$y=-1$$

V rovnici 4x+3y=3 dosaďte y za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

Vynásobte číslo 3 číslem -1.

$$4x-3=3$$

Připočítejte 3 k oběma stranám rovnice.

$$4x=6$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$