Vyřešit ∫ (from 1 to 4) of x^2+1/x^3 wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 4 } { x }^{ 2 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } } d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{687}{32}=21,46875$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x^{2}+\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x -\frac{1}{2x^{2}}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{2x^{2}}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{4^{3}}{3}-\frac{4^{-2}}{2}-\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{-2}}{2}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{687}{32}$$