Vyřešit ∫ (from 0 to 3) of (135+95x)(6+x) wrt x

$$\int_{ 0 }^{ 3 } (135+95x)(6+x) d x$$

Vyhodnotit

$$\frac{12915}{2}=6457,5$$

Postup řešení

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 135+95x každým členem výrazu 6+x.

$$\int _{0}^{3}810+135x+570x+95x^{2}\mathrm{d}x$$

Sloučením 135x a 570x získáte 705x.

$$\int _{0}^{3}810+705x+95x^{2}\mathrm{d}x$$

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 810+705x+95x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int 810\mathrm{d}x+\int 705x\mathrm{d}x+\int 95x^{2}\mathrm{d}x$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int 810\mathrm{d}x+705\int x\mathrm{d}x+95\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Najděte si integrál 810 pomocí \int a\mathrm{d}x=ax tabulky společného integrálového pravidla.

$$810x+705\int x\mathrm{d}x+95\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 705 číslem \frac{x^{2}}{2}.

$$810x+\frac{705x^{2}}{2}+95\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Vzhledem k tomu, že \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 95 číslem \frac{x^{3}}{3}.

$$810x+\frac{705x^{2}}{2}+\frac{95x^{3}}{3}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$810\times 3+\frac{705}{2}\times 3^{2}+\frac{95}{3}\times 3^{3}-\left(810\times 0+\frac{705}{2}\times 0^{2}+\frac{95}{3}\times 0^{3}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{12915}{2}$$